Análisis Comparativo de Modelos Matemáticos para la Evaluación del Control del Campo en el Fútbol

1.0 Introducción: La Cuantificación del Dominio Espacial en el Fútbol

En la era del análisis deportivo moderno, la disponibilidad de datos masivos de seguimiento de jugadores (tracking data) ha transformado la manera en que se evalúa el rendimiento en el fútbol. Esta abundancia de información espaciotemporal ha generado una creciente necesidad de métricas robustas capaces de cuantificar objetivamente el dominio espacial de jugadores y equipos. Una de las herramientas matemáticas más populares adoptadas inicialmente para este fin son los diagramas de Voronoi, que permiten medir el área controlada por cada jugador en un instante determinado.

Sin embargo, la aplicación directa de los diagramas de Voronoi estándar representa un desafortunado “error” metodológico, ya que su base teórica es fundamentalmente incorrecta para el contexto de un deporte dinámico. El modelo asume implícitamente que los jugadores son puntos estáticos o que todos se mueven a la misma velocidad, ignorando las leyes cinemáticas que realmente gobiernan la capacidad de un jugador para alcanzar un punto en el campo antes que otro. El objetivo de este informe es establecer un cambio de paradigma, pasando del modelo de Voronoi estándar a alternativas más avanzadas que corrigen estas deficiencias. Se analizarán modelos generalizados basados en la cinemática del movimiento (“soccerdynamics”) y enfoques flexibles arraigados en el aprendizaje automático.

Este documento está dirigido a analistas deportivos y científicos de datos que buscan profundizar en las bases teóricas de los modelos de control de campo. Su propósito es servir como una guía técnica para seleccionar el modelo más apropiado en función de los objetivos analíticos, la disponibilidad de datos y las restricciones computacionales, destacando las implicaciones teóricas y prácticas de cada elección. A continuación, se examinará el modelo de Voronoi estándar como punto de partida indispensable para nuestro análisis comparativo.

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2.0 El Modelo Fundamental: El Diagrama de Voronoi Estándar (Euclidiano)

Para realizar un análisis comparativo riguroso, es esencial establecer un modelo de referencia. El diagrama de Voronoi estándar, o euclidiano, es el método fundacional y más ampliamente adoptado para la partición del espacio en función de la proximidad. Su simplicidad conceptual y eficiencia computacional lo convierten en el punto de partida indispensable para evaluar modelos más complejos de control del campo.

Un diagrama de Voronoi estándar particiona un plano en un conjunto de regiones, conocidas como celdas de Voronoi, basándose en la distancia a un conjunto predefinido de puntos (los jugadores). Formalmente, dada una colección de jugadores Pᵢ, la celda de Voronoi Vᵢ asociada al jugador Pᵢ contiene todos los puntos del campo que están más cerca de Pᵢ que de cualquier otro jugador Pⱼ, utilizando la distancia euclidiana estándar (en línea recta).

Ventajas Principales

El modelo de Voronoi estándar debe su popularidad a un conjunto de ventajas claras y atractivas:

• Simplicidad conceptual e intuitiva: Proporciona un “mapa de proximidad” directo y fácil de interpretar, donde cada jugador es responsable del territorio que lo rodea inmediatamente.
• Eficiencia computacional: La construcción de un diagrama de Voronoi en un plano con n puntos es computacionalmente eficiente. Algoritmos bien establecidos, como el algoritmo de Fortune, pueden generarlo en tiempo O(n log n).
• Propiedades geométricas claras: Las fronteras entre las celdas son siempre bisectrices perpendiculares a los segmentos que unen a los jugadores. Como resultado, cada celda de Voronoi es un polígono convexo, una propiedad que simplifica los cálculos de área y otras métricas geométricas.

Limitaciones Fundamentales en un Contexto Deportivo

A pesar de su elegancia matemática, es incorrecto utilizar el modelo de Voronoi estándar para analizar el dominio en el fútbol desde una perspectiva física. Como argumenta C. J. Efthimiou, su aplicación a un deporte dinámico se basa en un supuesto erróneo fundamental:

El modelo asume implícitamente que todos los jugadores se mueven con la misma velocidad, siendo la velocidad nula (jugadores estáticos) solo un caso particular.

Esta suposición ignora el factor más crítico para determinar el control real del espacio: el movimiento. La velocidad y la aceleración de un jugador son las variables que determinan su capacidad para llegar a un punto del campo antes que un oponente. El modelo estándar solo es verdaderamente preciso en los instantes en que todos los jugadores se mueven a la misma velocidad, una condición que prácticamente nunca se cumple durante el juego activo. En cualquier otro momento, el diagrama de Voronoi euclidiano ofrece una estimación que puede conducir a conclusiones tácticas erróneas.

Esta insuficiencia teórica establece la necesidad de adoptar modelos más sofisticados que incorporen las dinámicas del movimiento de los jugadores, un paso crucial para superar las limitaciones del enfoque estático.

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3.0 Superando la Estática: Modelos Ponderados Basados en la Cinemática (“Soccerdynamics”)

Para superar las limitaciones del modelo estático, el enfoque denominado “soccerdynamics”, propuesto por Efthimiou, busca construir modelos de dominio espacial derivados directamente de los mecanismos físicos y las leyes cinemáticas del movimiento. En lugar de simplemente adoptar conceptos matemáticos por su atractivo visual, esta filosofía prioriza el realismo físico. El resultado es una familia de diagramas de Voronoi generalizados o ponderados, donde la métrica de distancia se modifica para incluir variables como la velocidad y el tiempo de reacción.

3.1 Modelo Ponderado Multiplicativamente (Diagrama de Apolonio): Incorporando la Velocidad

El primer paso hacia un modelo más realista es considerar que los jugadores se mueven a diferentes velocidades. Si asumimos que cada jugador Pᵢ tiene una velocidad característica Vᵢ, la pregunta ya no es quién está más cerca, sino quién puede llegar primero. El lugar geométrico de los puntos a los que dos jugadores, P₁ y P₂, con velocidades V₁ y V₂ pueden llegar simultáneamente ya no es una línea recta, sino un Círculo de Apolonio.

El diagrama resultante se conoce formalmente como un diagrama de Voronoi ponderado multiplicativamente. En este contexto, el “peso” de cada jugador es su velocidad característica (Vᵢ), que define el límite a través de una relación de cocientes (r₁/r₂ = V₁/V₂).

Implicaciones Clave:

• Fronteras: Las fronteras entre las regiones de dominio son arcos circulares en lugar de líneas rectas.
• Dominio del Jugador Rápido: Un jugador con una velocidad característica mayor controla un área significativamente más grande que un jugador más lento. El círculo de Apolonio se “abulta” hacia el jugador más lento, cediendo territorio al más rápido.
• Requisito de Datos: Este modelo requiere datos de la velocidad característica del jugador, además de su posición.

3.2 Modelo Ponderado Aditivamente (Diagrama Hiperbólico): Incorporando el Tiempo de Reacción

Otro factor cinemático crucial es el tiempo de reacción (tᵢ) de un jugador. Si dos jugadores tienen la misma velocidad pero diferentes tiempos de reacción, el que reacciona más rápido tiene una ventaja. La frontera de llegada simultánea entre ellos es una rama de una hipérbola, definida matemáticamente como el lugar geométrico de los puntos donde la diferencia de distancias a los dos focos (jugadores) es constante (r₁ - r₂ = constante).

Este modelo se conoce como un diagrama de Voronoi ponderado aditivamente. Aquí, el “peso” es la ventaja temporal (A · tᵢ) que se resta o suma a la distancia. En la práctica, el jugador con un tiempo de reacción menor (más rápido) puede reclamar una porción adicional de espacio, desplazando la frontera hiperbólica a su favor a expensas del oponente.

3.3 Modelo Compuesto (Óvalos Cartesianos): Combinando Velocidad y Tiempo de Reacción

El modelo determinista más general y completo desde el punto de vista cinemático combina ambos factores: considera que los jugadores tienen tanto velocidades características diferentes como tiempos de reacción distintos. En este escenario, la curva que define la frontera de llegada simultánea entre dos jugadores es un óvalo cartesiano, una curva algebraica más compleja que las anteriores.

Este modelo representa la aproximación más realista desde la física determinista. Sin embargo, su complejidad matemática lo convierte en el más desafiante de implementar y computar, situándolo en la cima de la jerarquía de modelos basados en la física.

3.4 Implicaciones Geométricas y de Complejidad

La adopción de estos modelos basados en la cinemática transforma radicalmente la geometría del control del campo en comparación con el diagrama de Voronoi estándar.

• No convexidad: A diferencia de las celdas de Voronoi estándar, las regiones de dominio resultantes no son necesariamente convexas.
• Agujeros y Desconexiones: La región de dominio de un jugador puede contener “agujeros” (áreas controladas por otros jugadores) o incluso estar formada por múltiples áreas desconectadas.
• Contención: Es teóricamente posible que la región de dominio completa de un jugador más lento quede completamente encerrada dentro de la región de un jugador mucho más rápido.

Estos modelos, aunque físicamente más rigurosos, introducen una complejidad geométrica y computacional considerable, abriendo la puerta a enfoques alternativos que buscan ofrecer flexibilidad sin depender de construcciones geométricas exactas.

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4.0 Enfoques Flexibles y Probabilísticos: Alternativas al Modelado Determinista

Mientras los modelos de “soccerdynamics” buscan una “verdad” determinista basada en leyes físicas, una filosofía de modelado alternativa abraza y cuantifica explícitamente la incertidumbre inherente al rendimiento deportivo. Los enfoques estadísticos y de aprendizaje automático reconocen que el rendimiento humano no es perfectamente predecible solo por leyes cinemáticas. Ofrecen mayor flexibilidad, modelando la probabilidad o la verosimilitud de que un jugador controle un punto del campo en lugar de buscar una construcción geométrica exacta.

4.1 El Enfoque Basado en K-Nearest Neighbors (KNN)

Un enfoque flexible para construir modelos de control de campo utiliza el algoritmo K-Nearest Neighbors (KNN). En su forma más simple, un algoritmo 1-Nearest Neighbor (1NN) proporciona una aproximación directa del diagrama de Voronoi estándar, ya que asigna cada punto del campo al jugador más cercano.

La principal fortaleza del enfoque KNN radica en su flexibilidad. Mediante el ajuste de un pequeño número de hiperparámetros, un único algoritmo puede emular diferentes filosofías de control de campo y adaptarse a distintos niveles de habilidad.

Parámetros Clave para Modelar la Incertidumbre:

1. Decaimiento por Distancia (Distance Decay): Modela cómo la capacidad de un jugador para llegar primero a un punto disminuye a medida que aumenta la distancia. Refleja la intuición de que, a mayor distancia, factores desconocidos (aceleración, fatiga, obstáculos) tienen más tiempo para impactar el resultado, haciendo el control menos seguro.
2. Suavizado (Smoothing): Aplicando técnicas como las medias móviles, se introduce una incertidumbre espacial. Este suavizado es útil para modelar escenarios donde el control es menos preciso, como en ligas de menor nivel técnico.

El modelo KNN ofrece, por tanto, una alternativa rápida, flexible y ajustable. Su principal contrapartida es que genera una aproximación pixelada del campo de control en lugar de una construcción con fronteras algebraicas exactas.

4.2 Mención de Otros Modelos Probabilísticos

Otro enfoque probabilístico influyente fue el propuesto por Javier Fernandez y Luke Bornn. Este modelo se aleja de las particiones geométricas y utiliza herramientas estadísticas para describir el área de influencia de un jugador.

Su metodología se basa en el uso de distribuciones normales bivariadas para cada jugador. La media y la matriz de covarianza de cada distribución se determinan no solo por la ubicación del jugador, sino también por su velocidad, lo que permite que el área de influencia se extienda en la dirección del movimiento.

Es importante señalar la tensión filosófica que este tipo de modelos presenta frente a la “soccerdynamics”. Defensores de los modelos físicos, como Efthimiou, los han criticado por carecer de una justificación directa basada en leyes cinemáticas, describiéndolos como modelos que “salen de la chistera” sin un argumento físico explícito.

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5.0 Guía de Selección y Análisis Comparativo para Analistas

La elección de un modelo para analizar el control del campo no consiste en encontrar una única solución “correcta”, sino en alinear la herramienta con el contexto analítico específico. Esta sección final sintetiza el análisis anterior en un marco práctico para ayudar a analistas y científicos de datos a tomar una decisión informada.

Tabla Comparativa de Modelos

Recomendaciones Prácticas según Criterios de Decisión

Criterio 1: Objetivo Analítico

La finalidad del análisis debe ser el principal motor de la elección del modelo.

• Utilice el Voronoi Estándar únicamente para obtener una línea de base visual rápida de la estructura espacial de un equipo, siendo plenamente consciente de sus severas limitaciones dinámicas.
• Elija los modelos ponderados para estudios tácticos en profundidad sobre el impacto de atributos físicos específicos. Si desea analizar el efecto de la velocidad de un extremo o el tiempo de reacción de un defensor, los diagramas de Apolonio o hiperbólicos proporcionan un marco teóricamente sólido.
• Implemente el modelo basado en KNN para crear mapas de control flexibles o cuando necesite comparar diferentes niveles de competición. Su capacidad para ajustar la incertidumbre lo hace ideal para crear mapas de “riesgo” o “presión”.

Criterio 2: Disponibilidad de Datos

Los requisitos de datos varían significativamente entre los modelos.

• Si solo dispone de datos de posición, el Voronoi Estándar es su única opción directa.
• Los modelos ponderados exigen datos cinemáticos ricos, como velocidades instantáneas, velocidades máximas características y estimaciones del tiempo de reacción de los jugadores.
• El modelo basado en KNN es flexible, pudiendo operar solo con datos de posición, pero su precisión y capacidad para emular modelos más complejos mejoran drásticamente si se incorporan datos de velocidad.

Criterio 3: Limitaciones Computacionales y Necesidad de Incertidumbre

Existe un compromiso inevitable entre realismo físico, complejidad computacional y flexibilidad.

• Si prioriza el realismo determinista, los modelos basados en óvalos cartesianos son los más “correctos” cinemáticamente, pero su implementación es compleja y computacionalmente costosa.
• Si prioriza la velocidad y la flexibilidad, el enfoque basado en KNN destaca. Es la opción preferida cuando el tiempo de cálculo es un factor limitante o cuando el objetivo es modelar explícitamente la incertidumbre, algo que los modelos deterministas no pueden hacer.

La selección deliberada de un modelo, con una clara comprensión de sus supuestos y limitaciones, es fundamental para generar análisis tácticos que sean tanto robustos como relevantes.

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6.0 Conclusión

Este informe ha demostrado que la evaluación del control del campo en el fútbol es un problema más complejo de lo que sugiere la aparente simplicidad del diagrama de Voronoi estándar. La suposición fundamental de este modelo —que el espacio se domina únicamente por la proximidad estática— es teóricamente incorrecta y resulta insuficiente para capturar la naturaleza dinámica del juego.

La evolución de los modelos analizados traza un camino claro hacia un mayor realismo y flexibilidad. Se ha progresado desde el diagrama euclidiano fundamental hacia los diagramas generalizados de la “soccerdynamics”, que, al estar basados en leyes físicas, introducen variables como la velocidad y el tiempo de reacción para ofrecer una representación determinista más precisa. En paralelo, los enfoques de aprendizaje automático como el modelo basado en KNN han surgido como alternativas potentes, sacrificando la exactitud geométrica en favor de la velocidad computacional, la flexibilidad y, de manera crucial, la capacidad de modelar la incertidumbre inherente al rendimiento deportivo.

En última instancia, la selección de un modelo para analizar el control del campo es una decisión crítica con profundas implicaciones para la calidad de los conocimientos tácticos extraídos. A medida que la calidad de los datos y la potencia computacional continúen creciendo, una comprensión profunda de estas diferencias teóricas será cada vez más esencial para cualquier analista que busque obtener una ventaja competitiva en el fútbol moderno.